Markowitz e la frontiera efficiente

Quanto rende ogni punto di rischio

Un investimento che promette il 3% con una volatilità del 2% è migliore o peggiore di uno che promette il 6% con una volatilità del 9%? Il secondo rende di più, ma oscilla molto di più. Per confrontarli serve una misura che tenga conto di entrambe le cose.

La più semplice è il rapporto tra rendimento atteso e volatilità: quanto rendimento si ottiene per ogni punto di rischio. Il primo investimento offre 1,5 punti di rendimento per punto di rischio; il secondo solo 0,67. Il primo, a parità di rischio sopportato, è più efficiente.

In questa forma il rapporto è una semplificazione: la versione usata dai professionisti, l'indice di Sharpe, considera solo il rendimento in eccesso rispetto ai titoli privi di rischio. Ma l'idea è la stessa, ed è il punto di partenza di tutta la costruzione dei portafogli efficienti.

Nella Lezione 7 abbiamo visto che combinando due mercati si può ottenere un portafoglio con un rapporto più alto di quello di ciascun mercato preso da solo. Resta da capire come trovare, tra tutte le combinazioni possibili, quelle migliori.

L'idea di Harry Markowitz

Nel 1952 un giovane economista americano, Harry Markowitz, pubblicò un articolo intitolato Portfolio Selection. L'idea era rivoluzionaria nella sua semplicità: il rischio di un portafoglio non è la somma dei rischi dei titoli che lo compongono. Dipende anche da come quei titoli si muovono insieme. Per quel lavoro, nel 1990, Markowitz ricevette il premio Nobel per l'economia, insieme a Merton Miller e William Sharpe.

Il contributo di Markowitz fu trasformare un'intuizione in un metodo. Conoscendo per ciascun mercato il rendimento atteso, la volatilità e le correlazioni con gli altri, una formula permette di calcolare il rendimento atteso e la volatilità di qualunque combinazione. E quindi di cercare, tra tutte le combinazioni possibili, quelle che offrono il rischio più basso per ogni livello di rendimento.

Il metodo dà il meglio di sé quando i rendimenti si comportano in modo vicino alla curva a campana, con i limiti che abbiamo visto nella Lezione 5. Ma la sua logica di fondo, combinare i mercati tenendo conto di come si muovono insieme, resta valida in ogni caso, ed è ancora oggi il fondamento della costruzione dei portafogli.

Da due mercati a una curva

Torniamo ai due mercati della Lezione 7, sempre con l'ipotesi di previsioni perfette. Calcoliamo rendimento e volatilità di tutte le combinazioni possibili, dal 100% nel Mercato 1 al 100% nel Mercato 2.

Disegnate su un grafico, con la volatilità in orizzontale e il rendimento in verticale, le combinazioni formano una curva. E la curva rivela qualcosa di importante. Guardiamo le combinazioni 70/30 e 25/75: hanno la stessa volatilità, 4,7%. Ma la prima rende il 5,4%, la seconda il 5,9%. Nessun investitore razionale sceglierebbe 70/30: con lo stesso rischio può ottenere di più.

Tutta la parte inferiore della curva, quella con più Mercato 1, è fatta di combinazioni di questo tipo: per ciascuna esiste un'alternativa con lo stesso rischio e un rendimento più alto. La parte superiore, dal punto di minimo rischio (intorno a 47/53) fino al 100% nel Mercato 2, contiene invece solo combinazioni che non possono essere migliorate. È la frontiera efficiente.

Con molti mercati: la frontiera efficiente

Con due mercati le combinazioni stanno su una curva. Con dieci, venti o cento mercati diventano una nuvola: centinaia di migliaia di portafogli possibili, ciascuno con il suo rendimento atteso e la sua volatilità.

Il bordo superiore sinistro di questa nuvola è la frontiera efficiente. Per ogni livello di rischio, indica il portafoglio con il rendimento atteso più alto; per ogni livello di rendimento, quello con il rischio più basso. Ogni punto della frontiera è un portafoglio efficiente.

Qualunque portafoglio che si trovi sotto la frontiera, chiamiamolo A, è migliorabile. Esiste un portafoglio B, costruito con gli stessi mercati, che offre lo stesso rischio con un rendimento più alto, oppure lo stesso rendimento con un rischio più basso. Spostarsi da A verso la frontiera non richiede di indovinare meglio i mercati: basta ripartire meglio il patrimonio tra quelli già disponibili.

Con cento mercati, naturalmente, nessuno può fare questi calcoli a mano. È qui che entra in gioco un software di ottimizzazione: calcola la frontiera a partire dalle stime di rendimento, volatilità e correlazione di tutti i mercati considerati.

Il punto giusto lo sceglie l'investitore, da solo o con il suo consulente

La frontiera efficiente non indica un portafoglio, ma un intero insieme di portafogli, tutti efficienti. Quale scegliere?

La risposta non viene dalla matematica, ma dal profilo di chi investe: i suoi obiettivi, il suo orizzonte, la sua tolleranza alle oscillazioni. Chi si affida a un consulente trova in lui chi traduce quel profilo nel punto della frontiera più adatto. Pensiamo a un ristorante con un ottimo menu: tutti i piatti sono preparati bene, ma ognuno sceglie in base ai propri gusti e al proprio appetito. Sulla frontiera succede lo stesso. Chi tollera poche oscillazioni si colloca verso sinistra, dove rischio e rendimento atteso sono più bassi. Chi può sopportare oscillazioni più ampie, e ha un orizzonte che lo consente, può spostarsi verso destra, dove il rendimento atteso è più alto.

È il profilo di rischio dell'investitore, misurato con un questionario di profilazione, a stabilire il tratto di frontiera adatto a lui. Il compito, per il consulente come per chi investe da solo, non è scegliere il portafoglio "migliore" in assoluto, che non esiste, ma il portafoglio efficiente più adatto a quella persona.

Un dettaglio pratico: punti vicini della frontiera possono avere composizioni anche piuttosto diverse. Per questo, invece di scegliere un singolo punto, si può costruire la media dei portafogli di un tratto di frontiera coerente con il profilo. Il risultato resta molto vicino alla frontiera ed è molto più stabile nel tempo. Ne parleremo nella Lezione 11.

La formula non sbaglia, i dati sì

L'ottimizzazione di Markowitz è matematicamente ineccepibile. Dati certi rendimenti attesi, certe volatilità e certe correlazioni, la frontiera che ne risulta è esattamente quella giusta.

Il suo limite non sta nella formula, ma in ciò che riceve. Se le stime di partenza sono sbagliate, la frontiera sarà precisa nei calcoli e sbagliata nella sostanza: come una ricetta perfetta preparata con ingredienti scadenti.

Per questo la qualità di un portafoglio costruito con Markowitz dipende soprattutto da due scelte. La prima è usare stime che guardino avanti: medie e volatilità del passato descrivono ciò che è già successo, non i 12 mesi che chi investe ha davanti. La seconda è trattare quelle stime con prudenza, perché l'ottimizzazione tende ad amplificare anche piccoli errori. È il tema della prossima lezione.

Esempi illustrativi: i due mercati sono quelli costruiti a scopo didattico nella Lezione 7.