Il dado e il casinò
Immaginiamo un lungo pomeriggio di pioggia senza nulla da fare. Prendiamo un dado e lo lanciamo trecento volte, annotando su un foglietto quante volte esce ciascuna faccia. Alla fine scopriamo che tutti i numeri sono usciti più o meno lo stesso numero di volte: circa cinquanta ciascuno.
Quel foglietto è una distribuzione di frequenza: registra quante volte si è verificato ciascun risultato possibile. Nel caso del dado la distribuzione è uniforme, perché ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire, una su sei. Con pochi lanci alcune facce potrebbero non uscire mai; con moltissimi lanci le sei frequenze tendono a diventare identiche.
Su questo principio si regge il casinò. Alla roulette, puntando sul nero, il giocatore ha 18 probabilità su 37 di vincere (circa il 48,6%) e 19 di perdere, perché c'è anche lo zero. Il giocatore occasionale può avere fortuna in una serata. Il casinò, che fa girare la ruota migliaia di volte, può contare sulla legge dei grandi numeri: su mille giri incasserà in circa 513 casi e pagherà in circa 487. La differenza è il suo profitto, ed è praticamente certa.
Con il dado e la roulette tutto è semplice: i risultati possibili sono pochi e noti, e le probabilità sono costanti. Sarebbe bello poter dire, con la stessa sicurezza, quale probabilità ha un certo mercato di guadagnare più del 5% la prossima settimana. Qui le cose si complicano.
Dai dadi ai rendimenti
I rendimenti di un mercato non sono sei facce di un dado. Possono assumere infiniti valori, e non tutti hanno la stessa probabilità.
Per uno zero coupon con un anno di vita residua e tassi intorno all'1%, il rendimento settimanale più probabile è circa un cinquantaduesimo del tasso annuo: due punti base. Un rialzo del 10% in una settimana è praticamente impossibile. Ogni altro rendimento è tanto meno probabile quanto più si allontana da quei due punti base.
Per un indice azionario le certezze sono molte meno, ma l'intuizione resta: i movimenti ampi dovrebbero essere più rari di quelli contenuti. I dati lo confermano. Ecco i rendimenti settimanali dell'indice azionario italiano S&P Mib dal 1998 alla fine del 2009, 623 settimane in tutto:
| Rendimento settimanale | Numero di settimane |
|---|---|
| Superiore a +10% | 4 |
| Pari o superiore a +3% | 83 |
| Superiore a 0% | 345 |
| Inferiore a 0% | 278 |
| Inferiore a −3% | 95 |
| Inferiore a −10% | 5 |
I rendimenti estremi sono meno frequenti, e quindi meno probabili, di quelli contenuti. Una formula che voglia descrivere i rendimenti di un mercato deve quindi rispettare due condizioni: assegnare probabilità più basse ai movimenti ampi, in un senso e nell'altro, e adattarsi alle caratteristiche di ciascuno strumento. Un +10% in una settimana deve essere molto meno probabile per un titolo di Stato a breve che per un indice azionario.
La campana
La statistica offre una distribuzione che rispetta entrambe le condizioni: la distribuzione normale, nota anche come gaussiana o curva a campana. Assegna la probabilità più alta al valore centrale e probabilità via via più basse ai valori che se ne allontanano, a destra e a sinistra.
Il suo grande pregio è la semplicità: per descriverla bastano due numeri, la media e la deviazione standard. Cambiando la deviazione standard la campana si allarga o si stringe, e così si adatta a strumenti più o meno volatili.
Viene subito voglia di verificare se funziona davvero. Calcoliamo media e deviazione standard dei rendimenti settimanali dello S&P Mib dal 1998 al 2009: la media è 0,043% a settimana, la deviazione standard 3,275%. Disegniamo la campana corrispondente e sovrapponiamola alla distribuzione dei rendimenti realmente osservati.
S&P Mib, rendimenti settimanali 1998–2009: frequenze osservate e distribuzione normale
Barre: numero di settimane per classe di rendimento. Linea: settimane previste dalla distribuzione normale.
La somiglianza è evidente: la forma generale è quella giusta. Ma è altrettanto evidente che la corrispondenza non è perfetta. Al centro le settimane realmente osservate con rendimenti appena positivi sono più numerose di quanto preveda la campana. E, soprattutto, qualcosa non torna agli estremi.
Dove la campana sbaglia
Guardiamo le code della distribuzione, cioè i movimenti più ampi.
| Settimane con rendimento | Previste dalla campana | Osservate | Scarto |
|---|---|---|---|
| Inferiore a −10% | 1 | 5 | cinque volte tante |
| Superiore a +9% | 2 | 8 | quattro volte tante |
Può sembrare poco: quattro o sei settimane in dodici anni. Ma in termini relativi l'errore è enorme. In probabilità, la campana assegna a una settimana sotto il −10% una probabilità dello 0,12%; nella realtà la frequenza è stata dello 0,80%, quasi sette volte di più. Lo stesso accade sopra il +10%: 0,12% previsto, 0,64% osservato.
È il limite più noto della distribuzione normale: sottostima sistematicamente gli eventi estremi. Le probabilità che assegna non coincidono mai con le frequenze reali, e lo scarto è massimo proprio dove fa più male, nelle crisi. È una delle principali fonti di errore nei modelli di gestione del rischio e di valutazione degli strumenti derivati. Crisi come quella del 2007–2008 non possono essere previste da questa semplificazione statistica.
Perché la usiamo comunque
Se la campana sbaglia, perché non usare altro? La letteratura finanziaria propone diverse alternative, dalle distribuzioni con code più spesse alla geometria frattale. Eppure la distribuzione normale resta lo strumento di riferimento, per tre ragioni.
Funziona bene dove si concentra la maggior parte dei casi. La campana prevede che l'84% delle settimane abbia un rendimento inferiore a media più una deviazione standard, cioè sotto il 3,32%: nei dati le settimane sono state 548 su 623, l'88%. Prevede che il 24% delle settimane cada tra +1,5% e +4,5%: nei dati sono state 143, il 23%. Non è una corrispondenza esatta, ma è un'approssimazione rapida e tutt'altro che lontana dalla realtà.
È semplice. Due soli numeri, media e deviazione standard, bastano per descriverla e per calcolare la probabilità di qualunque intervallo di rendimento. Su questa semplicità si regge tutto l'apparato dell'ottimizzazione di portafoglio che vedremo nelle prossime lezioni.
I suoi limiti sono noti. Proprio perché la si usa da decenni, si sa esattamente dove sbaglia. E nulla impedisce di affiancarle misure specifiche per i rischi estremi, che compensano la sua tendenza a sottostimarli.
In condizioni di mercato normali, la campana permette di costruire portafogli molto efficienti. Basta ricordare che non è un buon indicatore della probabilità delle catastrofi.
A che cosa serve in pratica
La distribuzione normale permette di fare un esercizio molto utile: attribuire una probabilità a un intervallo di rendimenti.
Supponiamo che per un mercato si preveda, nei prossimi 12 mesi, un rendimento del 6% con una volatilità del 15%. Con la campana si può stimare che:
- la probabilità di chiudere l'anno in guadagno è di circa il 65%, poco meno di due possibilità su tre;
- in nove casi su dieci la perdita non supera il 13% circa.
Sono informazioni concrete per decidere. Se la probabilità che un indice azionario faccia meglio di un titolo di Stato è molto bassa, si può decidere di escluderlo; se la probabilità di una perdita è troppo alta per il profilo di chi investe, si modifica il portafoglio.
Con una cautela: per quanto detto sopra, la probabilità reale di perdite molto ampie è più alta di quella indicata dalla campana. Le stime vanno lette come valide in condizioni normali, non come un limite invalicabile.
In sintesi
- I rendimenti di un mercato si distribuiscono in modo che i movimenti ampi siano più rari di quelli contenuti.
- La distribuzione normale descrive bene questo andamento con soli due numeri: media e deviazione standard.
- Il suo limite principale è che sottostima sistematicamente gli eventi estremi.
- Usata con consapevolezza, permette di attribuire probabilità ai rendimenti futuri ed è la base dell'ottimizzazione di portafoglio.
Questa lezione nasce dai seminari di formazione sull'asset allocation quantitativa che teniamo da quasi vent'anni, nel corso dei quali abbiamo progettato e perfezionato i nostri modelli. Abbiamo scelto di conservare gli esempi originali, costruiti sui dati disponibili allora: i principi che illustrano non dipendono dal periodo osservato, e il fatto che restino validi a distanza di tanti anni ne è la conferma migliore. Risultati storici, non indicativi di risultati futuri.