La volatilità

In Irlanda si esce con l'ombrello

In Irlanda piove spesso, soprattutto nell'ovest, dove la pioggia fa parte della vita quotidiana. Non c'è da stupirsi, quindi, se in una mattina serena di agosto si vede la gente passeggiare con l'ombrello. Il tempo cambia rapidamente, quasi ogni giorno piove almeno una volta, e tutti sanno che il cielo del mattino non è un buon indicatore della giornata.

È un esempio di evento prevedibile proprio perché molto regolare. Allo stesso modo, chiunque abbia un minimo di dimestichezza con la finanza sa che il prezzo di un titolo zero coupon di ottima qualità, tra due settimane, sarà con ogni probabilità più alto di oggi. Lo zero coupon viene emesso a un prezzo inferiore a 100 e, giorno dopo giorno, si avvicina al prezzo di rimborso. Nessuno si aspetta da lui bruschi cambiamenti da un giorno all'altro.

La variabilità dei fenomeni, siano essi meteorologici, sociali o finanziari, è da sempre oggetto di studio della statistica descrittiva. Uno dei suoi strumenti più noti è la media aritmetica. Ma, come vedremo subito, la media da sola non basta.

Due classi, stessa media

Immaginiamo due classi, di sei studenti ciascuna, che svolgono lo stesso compito di matematica.

In entrambe le classi la media è 6. Se ci fermassimo alla media, dovremmo concludere che le due classi sono uguali.

Basta però guardare i voti per accorgersi che non è così. Nella seconda classe tutti hanno la sufficienza: non ci sono né geni né studenti in difficoltà, e la media rappresenta bene la preparazione di ognuno. Nella prima, invece, nessuno ha preso 6. Ci sono tre studenti eccellenti e tre in grave difficoltà, e la media cade nel mezzo di valori molto lontani tra loro.

La media, da sola, non dice nulla della variabilità dei dati. E la variabilità, come vedremo, è decisiva quando si vuole usare la media per prevedere.

La media prevede, la variabilità dice quanto fidarsi

Organizziamo ora un compito a sorpresa per tutti e dodici gli studenti. Che voto possiamo aspettarci? In mancanza di meglio, useremo la media: un 6 per tutti. Con gli studenti della seconda classe avremo quasi certamente ragione. Con quelli della prima, quasi certamente torto.

Con gli strumenti finanziari il ragionamento è lo stesso. Il rendimento di un'attività finanziaria è la variazione percentuale del suo prezzo in un dato intervallo di tempo: per esempio una settimana, misurata dalla chiusura di un venerdì a quella del venerdì successivo. Disponendo di una lunga serie di rendimenti settimanali si può calcolare il rendimento medio, e usarlo come prima stima del rendimento della settimana successiva.

Prendiamo lo zero coupon. Se ogni settimana si apprezza sempre dello 0,04%, anche il rendimento medio sarà 0,04%, e i singoli rendimenti saranno tutti vicinissimi alla media. È ragionevole aspettarsi che la prossima settimana faccia lo stesso. Un indice azionario, invece, alterna settimane molto positive e molto negative: la sua media è un'indicazione molto più fragile, come il 6 della prima classe.

Il rendimento medio fornisce la previsione; la variabilità dei dati su cui è calcolato dice quanto quella previsione sia affidabile. È la semplificazione di un principio fondamentale:

Qualsiasi previsione di rendimento è tanto più affidabile quanto minore è la sua variabilità.

Parliamo di semplificazione perché, nella realtà, la media storica non è la stima migliore del rendimento futuro, così come la variabilità passata non è la stima migliore di quella futura. Ne parleremo nelle prossime lezioni. Ma la variabilità osservata in passato resta un ottimo indicatore dell'incertezza che accompagna qualsiasi previsione.

Come si misura la dispersione

Per misurare quanto i dati si allontanano dalla loro media, la statistica usa la deviazione standard. Vediamo come si calcola, con i voti della prima classe.

1. Si calcola la media. (10 + 9 + 8 + 4 + 3 + 2) / 6 = 6.
2. Si misura lo scostamento di ogni voto dalla media.

3. Si fa la media degli scostamenti, ma elevati al quadrato. La media degli scostamenti semplici sarebbe zero, perché quelli positivi e quelli negativi si annullano: concluderemmo, sbagliando, che non c'è alcuna dispersione. Elevandoli al quadrato diventano tutti positivi: (16 + 9 + 4 + 4 + 9 + 16) / 6 = 58 / 6 = 9,67. Questo valore si chiama varianza.
4. Si estrae la radice quadrata, per tornare alla stessa unità di misura dei dati: la radice di 9,67 è circa 3,1. Questa è la deviazione standard.

Per la seconda classe il calcolo è immediato: tutti i voti coincidono con la media, gli scostamenti sono nulli e la deviazione standard è zero.

Le due classi hanno la stessa media, 6, ma deviazioni standard molto diverse: 3,1 contro 0. Ora sappiamo, con un numero, perché usare la media per prevedere il voto di un compito a sorpresa funzionerà bene per la seconda classe e male per la prima.

Dalla deviazione standard alla volatilità

In finanza la deviazione standard prende un altro nome: volatilità. La volatilità di un'azione, di un indice o di un fondo è la deviazione standard dei suoi rendimenti. Il nome diverso nasce da alcune convenzioni che rendono il dato confrontabile tra strumenti diversi.

Si guarda alle variazioni di prezzo, non ai prezzi. Che un'azione costi 1 euro o 500 euro non conta: si investe la somma disponibile, qualunque sia il prezzo unitario. Contano le variazioni, perché sono loro a produrre guadagni e perdite.

Si ragiona in percentuale. Un titolo che passa da 4 a 3 euro perde il 25%, esattamente come uno che passa da 1.000 a 750 euro. In valore assoluto le perdite sono di 1 e di 250 euro, ma in percentuale sono identiche, e quindi confrontabili.

Si esprime su base annua. Come i tassi di interesse, anche la volatilità si riporta per convenzione all'anno, qualunque sia la frequenza dei dati su cui è calcolata. Quando si legge che la volatilità di un indice è del 20%, si parla di volatilità annua. L'annualizzazione, però, non segue la stessa regola dei rendimenti: la volatilità di un anno non è dodici volte quella di un mese, ma circa 3,5 volte, perché cresce con la radice quadrata del tempo. Ne parleremo nella Lezione 6.